ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIKA KOMPETISI ANTAR DUA POPULASI

Abstract

Abstrak

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model matematika sistem kompetisi antar dua populasi dan mengetahui jenis bifurkasi sistem tersebut apabila parameter tingkat kematian populasi karena persaingan antar individu divariasikan.

Model matematika kompetisi antar dua populasi memiliki empat titik ekuilibrium yang keberadaan tiga diantaranya bergantung pada tingkat kematian kedua populasi karena persaingan antar individu dan satu titik ekuilibrium lainnya tidak bergantung pada tingkat kematian kedua populasi karena persaingan antar individu. Kestabilan titik ekuilibrium ditentukan berdasarkan nilai eigen dari hasil linearisasi di sekitar titik ekuilibrium. Perubahan kestabilan titik ekuilibrium dan perubahan banyaknya titik ekuilibrium sebagai penanda terjadinya bifurkasi. Selain itu, simulasi dilakukan untuk beberapa pasang nilai tingkat kematian karena persaingan antar.

Hasil perhitungan nilai eigen dari hasil linearisasi dan hasil analisis secara numerik dari sistem kompetisi dua populasi dengan parameter tingkat kematian kedua populasi karena persaingan antar individu yang divariasikan menunjukkan terjadinya bifurkasi pada sistem kompetisi antar dua populasi. Apabila tingkat kematian populasi jenis I kurang dari tingkat kematian populasi jenis II maka populasi jenis II akan punah dan terdapat tiga titik ekuilibrium, apabila tingkat kematian populasi jenis I sama dengan tingkat kematian populasi jenis II maka terdapat dua kondisi yaitu : 1) Populasi jenis I dan populasi jenis II hidup bersama dengan empat titik ekuilibrium atau tak hingga banyak titik ekuilibrium, 2) Populasi jenis I akan punah ketika populasi awal jenis II lebih besar dari populasi awal jenis I dan terdapat empat titik ekuilibrium sedangkan populasi jenis II akan punah ketika populasi awal jenis I lebih besar dari populasi awal jenis II dan terdapat empat titik ekuilibrium, selanjutnya apabila tingkat kematian populasi jenis I kurang dari tingkat kematian populasi jenis II maka populasi jenis I akan punah dan terdapat tiga titik ekuilibrium.

Kata kunci : Sistem kompetisi, titik ekuilibrium, nilai eigen, bifurkasi

Abstract

This research aims to analyze the mathematical model of competition system between two populations and to know the type of bifurcation of the system if the parameter of mortality rate the population because of the competition between individuals is varied.

The mathematical model of competition between the two populations has four equilibrium points where the existence of three points depends on the mortality rate of the two populations because the competition between individuals and one other is not dependent on the mortality rate of the two populations because of the competition between individuals. The stability of the equilibrium point is determined based on the eigen value from the result of the linearization around the equilibrium point. The change in stability of the equilibrium point and the change in the number of equilibrium points as a marker of the occurrence of bifurcation. In addition, the simulation is performed for several pairs of mortality rate because the competition between individuals.

                              The results of calculating eigenvalues from the result of the linearizationand numerical results of the competition system between two populations with the parameters of the mortality rate of the two populations because the competition between individuals being varied will indicate the occurrence of bifurcation in the competition system between two populations. If the mortality rate of type I population is less than the mortality rate of population type II then the population of type II will be extinct and there are three equilibrium points, if the mortality rate of population of type I is equal to the level of mortality of population type II then there are two conditions: 1) Population type I and type II living together with four equilibrium points or infinity equilibrium points, 2) Population type I will be extinct when the initial population of type II is larger than the initial population of type I and there are four equilibrium points and population type II will become extinct when the initial population of type I is larger than the initial population of type II, if the mortality rate of the type I population is less than the mortality rate of population type II then the population of type I will become extinct and there are three equilibrium points.

Keywords: Competition system, equilibrium point, eigenvalues, bifurcation